对角线是连接矩形的一个角及其对角的一条直线。[1]X研究来源一个矩形有两条对角线，它们长度相等。[2]X研究来源如果知道矩形各边的边长，你可以借助勾股定理轻易地算出对角线的长度，因为对角线将矩形分成了两个直角三角形。如果你不知道边长，但知道面积和周长，或边长之间的关系等其他信息，你可以先计算出矩形的长和宽，然后再用勾股定理算出对角线的长度。
步骤
方法 1方法 1 的 3:使用长和宽
1列出勾股定理的公式。该公式是a2+b2=c2{\\displaystyle a^{2}+b^{2}=c^{2}}，其中a{\\displaystyle a}和b{\\displaystyle b}是直角三角形直角边的边长，而c{\\displaystyle c}是直角三角形的斜边长度。[3]X研究来源由于对角线将矩形切成了两个完全一样的直角三角形，所以你可以使用勾股定理。[4]X研究来源矩形的长和宽是三角形的直角边；对角线是三角形的斜边。2将长和宽代入到公式中。长和宽应该是已知条件，又或者你可以量出它们的长度。确保你用长和宽代入的是a{\\displaystyle a}和b{\\displaystyle b}。例如，如果矩形的宽是3 cm，而长是4 cm，代入公式后得到如下等式：32+42=c2{\\displaystyle 3^{2}+4^{2}=c^{2}}。3算出长和宽的平方，然后相加求和。记住，一个数的平方等于用这个数乘以自己。例如：32+42=c2{\\displaystyle 3^{2}+4^{2}=c^{2}}9+16=c2{\\displaystyle 9+16=c^{2}}25=c2{\\displaystyle 25=c^{2}}4将等式两边开平方。最简单的计算平方根的方法是使用计算器。如果你没有科学计算器，可以使用在线计算器。[5]X研究来源这样可以算出c{\\displaystyle c}的值，即三角形的斜边，也就是矩形对角线的长度。例如：25=c2{\\displaystyle 25=c^{2}}25=c2{\\displaystyle {\\sqrt {25}}={\\sqrt {c^{2}}}}5=c{\\displaystyle 5=c}因此，宽为3 cm，而长为4 cm的矩形，其对角线的长度是5 cm。
方法 2方法 2 的 3:使用面积和周长
1列出矩形的面积公式。该公式是A=lw{\\displaystyle A=lw}，其中A{\\displaystyle A}为矩形的面积，l{\\displaystyle l}为矩形的长，而w{\\displaystyle w}为矩形的宽。[6]X研究来源2将矩形的面积代入到公式中。确保你代入的是变量A{\\displaystyle A}。例如，如果矩形的面积是35平方厘米，则代入后得到如下等式：35=lw{\\displaystyle 35=lw}。3变换等式，使之变成w{\\displaystyle w}的表达式。等式两边都除以l{\\displaystyle l}。将这个表达式放到一边。稍后你会将它代入周长公式。例如：35=lw{\\displaystyle 35=lw}35l=w{\\displaystyle {\\frac {35}{l}}=w}。4列出矩形的周长公式。该公式是P=2(w+l){\\displaystyle P=2(w+l)}，其中w{\\displaystyle w}为矩形的宽，而l{\\displaystyle l}为矩形的长。[7]X研究来源5将周长的值代入到公式中。确保你代入的是变量P{\\displaystyle P}。例如，如果矩形的周长是24厘米，则代入后会得到如下等式：24=2(w+l){\\displaystyle 24=2(w+l)}。6等式两边都除以2。这样就算出了w+l{\\displaystyle w+l}的值。例如：24=2(w+l){\\displaystyle 24=2(w+l)}242=2(w+l)2{\\displaystyle {\\frac {24}{2}}={\\frac {2(w+l)}{2}}}12=w+l{\\displaystyle 12=w+l}。7将w{\\displaystyle w}的表达式代入到等式中。使用你变换面积公式得到的表达式。例如，如果使用你变换而得的表达式35l=w{\\displaystyle {\\frac {35}{l}}=w}，把它代入周长公式中的w{\\displaystyle w}：12=w+l{\\displaystyle 12=w+l}12=35l+l{\\displaystyle 12={\\frac {35}{l}}+l}8去掉等式中的分母。等式两边都乘以l{\\displaystyle l}。例如：12=35l+l{\\displaystyle 12={\\frac {35}{l}}+l}12×l=(35l×l)+(l×l){\\displaystyle 12\\times l=({\\frac {35}{l}}\\times l)+(l\\times l)}12l=35+l2{\\displaystyle 12l=35+l^{2}}9使等式一边等于0。等式两边都减去一次项。例如：12l=35+l2{\\displaystyle 12l=35+l^{2}}12l−12l=35+l2−12l{\\displaystyle 12l-12l=35+l^{2}-12l}0=35+l2−12l{\\displaystyle 0=35+l^{2}-12l}10按项次对等式重新排序。这意味着带指数的项排第一个，然后是带变量的项，最后是常量。重新排序时，请注意保留正确的正、负符号。你应该注意到了，这个等式现在变成了一个二次方程。例如，0=35+l2−12l{\\displaystyle 0=35+l^{2}-12l}变成了0=l2−12l+35{\\displaystyle 0=l^{2}-12l+35}。11将二次方程因式分解。关于如何进行此步骤的完整说明，请阅读解二次方程。例如，方程0=l2−12l+35{\\displaystyle 0=l^{2}-12l+35}可因式分解成0=(l−7)(l−5){\\displaystyle 0=(l-7)(l-5)}。12求l{\\displaystyle l}的值。令各项等于零，求出变量。你会得到方程的两个解，或两个根。由于你面对的是一个矩形，所以得到的两个根是矩形的宽和长。例如：0=(l−7){\\displaystyle 0=(l-7)}7=l{\\displaystyle 7=l}及0=(l−5){\\displaystyle 0=(l-5)}5=l{\\displaystyle 5=l}。因此，矩形的长和宽分别为7 cm和5 cm。13列出勾股定理的公式。该公式是a2+b2=c2{\\displaystyle a^{2}+b^{2}=c^{2}}，其中a{\\displaystyle a}和b{\\displaystyle b}是直角三角形直角边的边长，而c{\\displaystyle c}是直角三角形斜边的边长。[8]X研究来源由于对角线将矩形切成了两个完全一样的直角三角形，所以你可以使用勾股定理。[9]X研究来源矩形的宽和长是三角形的直角边；对角线是三角形的斜边。14将宽和长代入到公式中。此时，长可以随意代入到a或b中，将宽代入另一个即可。例如，如果你算出矩形的宽和长为5 cm和7 cm，代入后得到如下等式：52+72=c2{\\displaystyle 5^{2}+7^{2}=c^{2}}。15算出宽和长的平方，然后相加求和。记住，一个数的平方等于用这个数乘以自己。例如：52+72=c2{\\displaystyle 5^{2}+7^{2}=c^{2}}25+49=c2{\\displaystyle 25+49=c^{2}}74=c2{\\displaystyle 74=c^{2}}16将等式两边开平方。最简单的计算平方根的方法是使用计算器。如果你没有科学计算器，可以使用在线计算器。[10]X研究来源这样可以算出c{\\displaystyle c}的值，即三角形的斜边，也就是矩形对角线的长度。例如：74=c2{\\displaystyle 74=c^{2}}74=c2{\\displaystyle {\\sqrt {74}}={\\sqrt {c^{2}}}}8.6024=c{\\displaystyle 8.6024=c}因此，面积为35cm2{\\displaystyle 35cm^{2}}而周长为24 cm的矩形，其对角线长度约等于8.6 cm。
方法 3方法 3 的 3:使用面积和边长的相对关系
1写下能够说明两条边边长之间关系的等式。[11]X研究来源你可以将之写成长(l{\\displaystyle l})或宽(w{\\displaystyle w})的表达式。将这个等式放到一边。稍后你会将它代入面积公式。例如，如果已知矩形的宽比矩形的长要长2 cm，你可以列出w{\\displaystyle w}的表达式：w=l+2{\\displaystyle w=l+2}。2列出矩形的面积公式。该公式是A=lw{\\displaystyle A=lw}，其中A{\\displaystyle A}为矩形的面积，l{\\displaystyle l}为矩形的长，而w{\\displaystyle w}为矩形的宽。[12]X研究来源如果知道矩形的周长，你也可以使用这种方法，不过列出的应该是周长公式，而非面积公式。矩形的周长公式是P=2(w+l){\\displaystyle P=2(w+l)}，其中w{\\displaystyle w}为矩形的宽，而l{\\displaystyle l}为矩形的长。[13]X研究来源3将矩形的面积代入到公式中。确保你代入的是变量A{\\displaystyle A}。例如，如果矩形的面积是35平方厘米，则代入后得到如下等式：35=lw{\\displaystyle 35=lw}。4将长或宽的关系表达式代入公式中。由于你面对的是一个矩形，所以求l{\\displaystyle l}或w{\\displaystyle w}变量的值都可以。例如，如果你知道w=l+2{\\displaystyle w=l+2}，可以将这个表达式代入面积公式中的w{\\displaystyle w}：35=lw{\\displaystyle 35=lw}35=l(l+2){\\displaystyle 35=l(l+2)}5列出二次方程。用括号前的系数乘以括号内的各项，然后使方程的一边等于0。例如：35=l(l+2){\\displaystyle 35=l(l+2)}35=l2+2l{\\displaystyle 35=l^{2}+2l}0=l2+2l−35{\\displaystyle 0=l^{2}+2l-35}6将二次方程因式分解。关于如何进行此步骤的完整说明，请阅读解二次方程。例如，方程0=l2+2l−35{\\displaystyle 0=l^{2}+2l-35}可因式分解成0=(l+7)(l−5){\\displaystyle 0=(l+7)(l-5)}。7求l{\\displaystyle l}的值。令各项等于零，求出变量。你会求出方程的两个解，或两个根。例如：0=(l+7){\\displaystyle 0=(l+7)}−7=l{\\displaystyle -7=l}及0=(l−5){\\displaystyle 0=(l-5)}5=l{\\displaystyle 5=l}。在本例中，你会得到一个负数根。由于矩形的长不可能为负数，所以长必定为5 cm。8将长或宽的值代入到关系表达式中。这样就算出了矩形另一条边的边长。例如，如果你知道矩形的长为5 cm，且边长之间的关系为w=l+2{\\displaystyle w=l+2}，可以将长的值5代入到表达式中：w=l+2{\\displaystyle w=l+2}w=5+2{\\displaystyle w=5+2}w=7{\\displaystyle w=7}9列出勾股定理的公式。该公式是a2+b2=c2{\\displaystyle a^{2}+b^{2}=c^{2}}，其中a{\\displaystyle a}和b{\\displaystyle b}是直角三角形直角边的边长，而c{\\displaystyle c}是直角三角形斜边的边长。[14]X研究来源由于对角线将矩形切成了两个完全一样的直角三角形，所以你可以使用勾股定理。[15]X研究来源矩形的宽和长是三角形的直角边；对角线是三角形的斜边。10将宽和长代入到公式中。此时，长可以随意代入到a或b中，将宽代入另一个即可。例如，如果你算出矩形的宽和长为5 cm和7 cm，代入后得到如下等式：52+72=c2{\\displaystyle 5^{2}+7^{2}=c^{2}}。11算出宽和长的平方，然后相加求和。记住，一个数的平方等于用这个数乘以自己。例如：52+72=c2{\\displaystyle 5^{2}+7^{2}=c^{2}}25+49=c2{\\displaystyle 25+49=c^{2}}74=c2{\\displaystyle 74=c^{2}}12将等式两边开平方。最简单的计算平方根的方法是使用计算器。如果你没有科学计算器，可以使用在线计算器。[16]X研究来源这样可以算出c{\\displaystyle c}的值，即三角形的斜边，也就是矩形对角线的长度。例如：74=c2{\\displaystyle 74=c^{2}}74=c2{\\displaystyle {\\sqrt {74}}={\\sqrt {c^{2}}}}8.6024=c{\\displaystyle 8.6024=c}因此，宽比长要长2 cm，且面积为35cm2{\\displaystyle 35cm^{2}}的矩形，其对角线的长度约等于8.6 cm。
