4种方法来计算三角形面积

我们通常用三角形的底边长乘以高，再除以2，来计算三角形的面积。但是实际上，还有很多方法可以算三角形面积。你可以根据已知的信息，选择不同的公式来计算三角形面积。如果你知道边长和夹角度数时，可以利用这些数据，在不知道高的情况下算出三角形的面积。

步骤

方法 1方法 1 的 4:使用底和高进行计算

1找出三角形底和高的长度。三角形的“底”就是它的其中一条边，通常指位于底部的侧边。“高”是指从底边到三角形顶部最高点的长度。当你从三角形的底边向对面顶点作垂线，画出的这条线段就是三角形的高。这些信息应该是已知的，或是可以通过测量得到的。例如，有一个三角形，经测量得到底边长5厘米，高3厘米。2写下用于计算三角形面积的公式。面积公式是： 面 积=12(bh){\\displaystyle {\\text{面 积}}={\\frac {1}{2}}(bh)} ，这里的b{\\displaystyle b}是三角形的底边长， h{\\displaystyle h} 是三角形的高。^{[1]X研究来源}3将底边长和高带入公式。将两个数值相乘，然后用得到的结果乘以 12{\\displaystyle {\\frac {1}{2}}}，就能得到三角形面积的数值，单位是平方形式。例如，如果三角形的底边长为5 cm，高为3 cm，那么带入公式得到：面 积=12(bh){\\displaystyle {\\text{面 积}}={\\frac {1}{2}}(bh)}面 积=12(5)(3){\\displaystyle {\\text{面 积}}={\\frac {1}{2}}(5)(3)}面 积=12(15){\\displaystyle {\\text{面 积}}={\\frac {1}{2}}(15)}面 积=7.5{\\displaystyle {\\text{面 积}}=7.5} 因此，一个底边长为5厘米、高为3厘米的三角形的面积为7.5平方厘米。4求直角三角形的面积。由于直角三角形的两条边是相互垂直的，因此，一条直角边相对于另一条直角边来说就是三角形的高，另一条边就是底边。因此，就算没有明确给出底边长和高，但如果已知两条直角边长，就相当于知道底边长和高了。接着，就可以用公式面 积=12(bh){\\displaystyle {\\text{面 积}}={\\frac {1}{2}}(bh)}来计算三角形面积了。如果你已知一条直角边和斜边的长度，也可以用这个面积公式来求面积。斜边是直角三角形中最长的一个边，正对着直角夹角。如果已知斜边长和一条直角边的边长，可以通过勾股定理 （a2+b2=c2{\\displaystyle a^{2}+b^{2}=c^{2}}）算出另一条直角边的边长。例如，如果三角形的斜边为c，高和底就是另外两条直角边a和b。如果已知斜边c边长为5 cm，一条直角边（底边）长为4 cm，用勾股定理求出高：a2+b2=c2{\\displaystyle a^{2}+b^{2}=c^{2}}a2+42=52{\\displaystyle a^{2}+4^{2}=5^{2}}a2+16=25{\\displaystyle a^{2}+16=25}a2+16−16=25−16{\\displaystyle a^{2}+16-16=25-16}a2=9{\\displaystyle a^{2}=9}a=3{\\displaystyle a=3}此时，再把两个直角边长（a和b）当做底边和高带入面积公式：面 积=12(bh){\\displaystyle {\\text{面 积}}={\\frac {1}{2}}(bh)}面 积=12(4)(3){\\displaystyle {\\text{面 积}}={\\frac {1}{2}}(4)(3)}面 积=12(12){\\displaystyle {\\text{面 积}}={\\frac {1}{2}}(12)}面 积=6{\\displaystyle {\\text{面 积}}=6}

方法 2方法 2 的 4:使用边长进行计算

1计算三角形的半周长。半周长等于图形周长的一般。想算出三角形的半周长，需要先将三角形的三条边长加起来求出周长，然后乘以12{\\displaystyle {\\frac {1}{2}}}。^{[2]X研究来源}例如，如果三角形的三边长为5 cm、4 cm和3 cm，那幺半周长就是：s=12(3+4+5){\\displaystyle s={\\frac {1}{2}}(3+4+5)}s=12(12)=6{\\displaystyle s={\\frac {1}{2}}(12)=6}2用海伦公式求三角形面积。海伦公式是：面 积=s(s−a)(s−b)(s−c){\\displaystyle {\\text{面 积}}={\\sqrt {s(s-a)(s-b)(s-c)}}}，其中s{\\displaystyle s} 是三角形的半周长，a{\\displaystyle a}、b{\\displaystyle b}和c{\\displaystyle c}是三角形三条边的长度。^{[3]X研究来源}3将半周长和边长带入公式。确保把半周长带入公式中的每个s{\\displaystyle s}，进行计算。例如：面 积=s(s−a)(s−b)(s−c){\\displaystyle {\\text{面 积}}={\\sqrt {s(s-a)(s-b)(s-c)}}}面 积=6(6−3)(6−4)(6−5){\\displaystyle {\\text{面 积}}={\\sqrt {6(6-3)(6-4)(6-5)}}}4计算括号中的值。用半周长减去每一个边长，然后将三个结果相乘。例如：面 积=6(6−3)(6−4)(6−5){\\displaystyle {\\text{面 积}}={\\sqrt {6(6-3)(6-4)(6-5)}}}面 积=6(3)(2)(1){\\displaystyle {\\text{面 积}}={\\sqrt {6(3)(2)(1)}}}面 积=6(6){\\displaystyle {\\text{面 积}}={\\sqrt {6(6)}}}5将根号下的两个数值相乘。然后，求平方根。这样就能得到三角形面积的数值，单位是平方形式。例如：面 积=6(6){\\displaystyle {\\text{面 积}}={\\sqrt {6(6)}}}面 积=36{\\displaystyle {\\text{面 积}}={\\sqrt {36}}}面 积=6{\\displaystyle {\\text{面 积}}=6}因此，例子中三角形的面积是6平方厘米。

方法 3方法 3 的 4:使用等边三角的边长进行计算

1求三角形一条边的边长。等边三角形是三条边边长相等、三个角角度相同的三角形，所以如果你知道了一条边的边长，就相当于知道了所有边的边长。^{[4]X研究来源}比如，一个等边三角形的三条边边长都是6厘米。2列出等边三角形的面积公式。面积公式是面 积=(s2)34{\\displaystyle {\\text{面 积}}=(s^{2}){\\frac {\\sqrt {3}}{4}}}，其中 s{\\displaystyle s} 是等边三角形的边长。^{[5]X研究来源}3将边长的数值代入到公式中。确保是将公式中的每个变量 s{\\displaystyle s}都替代成具体的数值，然后求出它的平方。比如，一个等边三角形的三条边边长都是6厘米，计算过程如下：面 积=(s2)34{\\displaystyle {\\text{面 积}}=(s^{2}){\\frac {\\sqrt {3}}{4}}}面 积=(62)34{\\displaystyle {\\text{面 积}}=(6^{2}){\\frac {\\sqrt {3}}{4}}}面 积=(36)34{\\displaystyle {\\text{面 积}}=(36){\\frac {\\sqrt {3}}{4}}}4用边长的平方乘以3{\\displaystyle {\\sqrt {3}}}。为了得到更准确的结果，你可以使用计算器的平方根函数进行计算。或者，你可以用3{\\displaystyle {\\sqrt {3}}}的近似值1.732来代替根号3进行计算。比如：面 积=(36)34{\\displaystyle {\\text{面 积}}=(36){\\frac {\\sqrt {3}}{4}}}面 积=62.3524{\\displaystyle {\\text{面 积}}={\\frac {62.352}{4}}}5将得出的结果除以4。最后得到的结果就是三角形面积的数值，单位是平方形式。比如：面 积=62.3524{\\displaystyle {\\text{面 积}}={\\frac {62.352}{4}}}面 积=15.588{\\displaystyle {\\text{面 积}}=15.588}所以，边长为6厘米的等边三角形的面积是15.59平方厘米。

方法 4方法 4 的 4:使用三角函数进行计算

1找到三角形两条邻边的边长和它们夹角的度数。邻边是三角形中具有共同顶点的两条边。^{[6]X研究来源}夹角就是这两条邻边所夹的角。比如，两条邻边的长度分别是150厘米和231厘米，夹角为123度。2列出求三角形面积的三角函数公式。公式为面 积=bc2sin⁡A{\\displaystyle {\\text{面 积}}={\\frac {bc}{2}}\\sin A}，其中b{\\displaystyle b}和c{\\displaystyle c}是三角形邻边的边长，A{\\displaystyle A}是它们所夹夹角的度数。^{[7]X研究来源}3将边长代入到公式中。确保用已知边长的数值替代对应的b{\\displaystyle b}和c{\\displaystyle c}变量。然后将两者相乘，再除以2。比如：面 积=bc2sin⁡A{\\displaystyle {\\text{面 积}}={\\frac {bc}{2}}\\sin A}面 积=(150)(231)2sin⁡A{\\displaystyle {\\text{面 积}}={\\frac {(150)(231)}{2}}\\sin A}面 积=(34,650)2sin⁡A{\\displaystyle {\\text{面 积}}={\\frac {(34,650)}{2}}\\sin A}面 积=17,325sin⁡A{\\displaystyle {\\text{面 积}}=17,325\\sin A}4将角的正弦值代入到公式中。你可以在科学计算器中输入角的度数，然后按下“SIN”按钮，得到它的正弦值。比如，123度的正弦值是0.83867，所以公式如下：面 积=17,325sin⁡A{\\displaystyle {\\text{面 积}}=17,325\\sin A}面 积=17,325(.83867){\\displaystyle {\\text{面 积}}=17,325(.83867)}5将两个结果相乘。最终结果就是三角形面积的数值，单位是平方形式。比如：面 积=17,325(.83867){\\displaystyle {\\text{面 积}}=17,325(.83867)}面 积=14,529.96{\\displaystyle {\\text{面 积}}=14,529.96}所以，三角形的面积是14,530平方厘米。

小提示

如果你不是很理解三角形面积公式的推算过程（或计算原理），那么这里有一个简单的解释，能帮助你的理解。如果你画一个跟原三角形一模一样的三角形，并把两个三角形拼在一起，就会形成一个矩形（两个直角三角形拼在一起），或平行四边形（非直角三角形）。如果要计算矩形或平行四边形的面积，你需要用底边长乘以高。由于矩形或平行四边形等于两个三角形大小，所以三角形的面积就是底乘以高，然后再除以2。