等差数列是每一项与它的前一项的差等于一个常数的数列。如果要求等差数列之和，你可以将所有数字手动相加。但是，当数列包含大量数字时，就无法使用这种方法了。这时，你可以使用另一种方法，即用数列首项和末项的平均数乘以数列项数，从而快速算出任何等差数列之和。
步骤
部分 1部分 1 的 3:评估数列
1确定数列是等差数列。等差数列是一组有规律的数字，其中各数字的增量是一个常数。[1]X研究来源本文所述方法仅适用于等差数列。要确定数列是否是等差数列，你可以计算前面几个数字之间的差值和最后几个数字之间的差值。等差数列的差值应始终相等。例如，数列10, 15, 20, 25, 30是一个等差数列，因为各项之间的差值等于常数(5)。2确定数列的项数。每个数字构成一项。如果数列只包含列出的几个数字，你可以数一数共有多少项。否则，在知道首项、末项，以及被称为公差的各项之差的情况下，你可以使用公式来算出项数。我们可以使用变量n{\\displaystyle n}来代表这个数字。例如，如果你要计算数列10, 15, 20, 25, 30之和，则n=5{\\displaystyle n=5}，因为数列共有5项。3确定数列的首项和末项。要计算等差数列之和，你必须知道这两个数字。第一个数字常常为1，但也并不一定。我们可以设变量a1{\\displaystyle a_{1}}等于数列首项，变量an{\\displaystyle a_{n}}等于数列末项。例如，在数列10, 15, 20, 25, 30中，a1=10{\\displaystyle a_{1}=10}，而an=30{\\displaystyle a_{n}=30}。
部分 2部分 2 的 3:计算总和
1列出计算等差数列之和的公式。公式为Sn=n(a1+an2){\\displaystyle S_{n}=n({\\frac {a_{1}+a_{n}}{2}})}，其中Sn{\\displaystyle S_{n}}等于数列之和。[2]X研究来源注意，此公式表明等差数列之和等于首项和末项的平均数乘以项数。[3]X研究来源2将变量n{\\displaystyle n}、a1{\\displaystyle a_{1}}和an{\\displaystyle a_{n}}代入公式中。确保代入步骤正确。例如，如果数列有5项，首项为10，末项为30，则代入后公式变成：Sn=5(10+302){\\displaystyle S_{n}=5({\\frac {10+30}{2}})}。3计算首项和末项的平均数。将两个数字相加，然后除以2。例如：Sn=5(402){\\displaystyle S_{n}=5({\\frac {40}{2}})}Sn=5(20){\\displaystyle S_{n}=5(20)}4用平均数乘以数列的项数。这样就算出了等差数列之和。例如：Sn=5(20){\\displaystyle S_{n}=5(20)}Sn=100{\\displaystyle S_{n}=100}因此，数列10, 15, 20, 25, 30之和等于100。
部分 3部分 3 的 3:完成例题
1计算1到500之间所有数字之和。考虑所有的连续整数。确定数列的项数n{\\displaystyle n}。由于需要考虑500以内的所有连续整数，因此n=500{\\displaystyle n=500}。确定数列的首项a1{\\displaystyle a_{1}}和末项an{\\displaystyle a_{n}}。由于数列是从1到500，所以a1=1{\\displaystyle a_{1}=1}，而an=500{\\displaystyle a_{n}=500}。计算a1{\\displaystyle a_{1}}和an{\\displaystyle a_{n}}的平均数：1+5002=250.5{\\displaystyle {\\frac {1+500}{2}}=250.5}。用平均数乘以n{\\displaystyle n}：250.5×500=125,250{\\displaystyle 250.5\\times 500=125,250}。2求下述等差数列之和。数列的首项为3。数列的末项为24。公差为7。确定数列的项数n{\\displaystyle n}。由于数列的第一项为3，最后一项为24，而每一项比前一项大7，所以这个数列是3, 10, 17, 24。以上推论是根据公差的定义得出，公差即数列中各项与前一项之差。[4]X研究来源这意味着n=4{\\displaystyle n=4}确定数列的首项a1{\\displaystyle a_{1}}和末项an{\\displaystyle a_{n}}。由于数列是从3到24，所以a1=3{\\displaystyle a_{1}=3}，而an=24{\\displaystyle a_{n}=24}。计算a1{\\displaystyle a_{1}}和an{\\displaystyle a_{n}}的平均数：3+242=13.5{\\displaystyle {\\frac {3+24}{2}}=13.5}。用平均数乘以n{\\displaystyle n}：13.5×4=54{\\displaystyle 13.5\\times 4=54}。3解以下问题。陈静在一年的第一周存了5元钱。在这一年中剩下的时间里，她每周会比前一周多存5元钱。年末时，陈静共存了多少钱？确定数列的项数n{\\displaystyle n}。由于陈静存了1年，而1年有52周，所以n=52{\\displaystyle n=52}。确定数列的首项a1{\\displaystyle a_{1}}和末项an{\\displaystyle a_{n}}。她存的第一笔钱金额为5元，所以a1=5{\\displaystyle a_{1}=5}。她在这一年最后一周存的金额可以计算得出，5×52=260{\\displaystyle 5\\times 52=260}。因此，an=260{\\displaystyle a_{n}=260}。计算a1{\\displaystyle a_{1}}和an{\\displaystyle a_{n}}的平均数：5+2602=132.5{\\displaystyle {\\frac {5+260}{2}}=132.5}。用平均数乘以n{\\displaystyle n}：135.5×52=7,046{\\displaystyle 135.5\\times 52=7,046}。所以，她在年末时共存了7,046元。
